平行线的性质和判定(平行线的性质和判定综合运用)

平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容,是进一步研究几何问题的基础,难点主要有两个方面:一个是“三线八角”识别,这是正确运用性质与判定的基础;另一个是性质与判定的区分。

知识全解

一.平行线

(1)概念:在同一平面内,不相交的两条直线称为平行线,用符号“‖”表示,在同一平面,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。

(2)基本性质

①经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行

②如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即a‖b,c‖b,那么a‖c。

二.平行线的判定、

(1)同位角相等,两直线平行。

(2)内错角相等,两直线平行。

(3)同旁内角互补,两直线平行。

三.平行线的性质

(1)两直线平行,同位角相等。

(2)两直线平行,内错角相等。

(3)两直线平行,同旁内角互补。

提示:平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系,而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下,得到两直线平行的结构。为了有效区分性质与判定,可记住下列口诀:“已知平行用性质,要证平行用判定”。

方法点拨

类型1 判定两条直线位置关系

例1 如果所示,PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,∠1=35度,∠2=55度,AB与CD平行吗

 

平行线的判定及其性质
 

【分析】由PE与PF分别为角平分线,得到两对角相等,根据∠1与∠2的度数,求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180度,利用同旁内角互补两直线平行即可说明。

【解答】AB‖CD,理由如下:

∵PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,∠1=35度,∠2=55度

∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF,∠2=∠PFD=1/2∠EFD

∴∠BEF=70度,∠EFD=110度,即∠BEF+∠EFD=180度

∴AB‖CD

【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角,再判定。

类型2 判定角度之间的关系

例2 如图所示

 

平行线的判定及其性质
 

E在直线DF上,B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系,并说明理由

【分析】因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,所有∠DGF=∠EHF,则BD‖CE,∠C=∠ABD,又因为∠C=∠D,所有DF‖AC,,所以DF‖AC,故∠A=∠F

【解答】∠A=∠F,理由如下

∵∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF

∴∠DGF=∠EHF

∴BD‖CE

∴∠C=∠ABD

又∵∠C=∠D

∴∠D=∠ABD

∴DF‖AC

∴∠A=∠F

【点评】解答这类问题可采用两种思考方式,一种是根据条件逐步推出结论,另一种是根据结论逆向思考,寻求解答所需的条件,再结合已知条件解答。

类型3 添加平行线求角度

例3 如图所示,

 

平行线的判定及其性质
 

AB‖EF,BC⊥CD于C,∠ABC=30度,∠DEF=45度,则∠CDE等于()

A.105度 B.75度 C.135度 D.115度

【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直,还给出了两个具体角的大小,但与要求的角无直接关系,可考虑添加平行线将问题转化,过点C和D作平行线,将要求的角转化到两个已知角中。

【解答】过点C作CM‖AB,过点D作DN‖AB

又∵AB‖EF

∴AB‖CM‖DN‖EF

∵AB‖CM,∠ABC=30度,则∠BCM=30度

又∵BC⊥CD,则∠BCD=90度

∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度

∵CM‖DN

∴∠MCD=1=60度

∵DN‖EF

∴∠DEF=∠2=45度,即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度

故选A

【点评】熟练掌握平行线的条件和特征,并能灵活运用是求解本题的关键,充分运用条件,及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提。对于两条平行线间“折线”与“拐角”问题,一般是在拐点处作平行线,从而构造出一些相等的角或互补的角,将问题转化。

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