二进制数的算术运算有：加、减、乘、除四则运算。
1、二进制数的加法运算
二进制加法进位规则是“逢二进一”，加法法则为：
0＋0=0
0＋1=1
1＋0=1
1+1=10（进位为1）
例如：10101+10011＝101000
（对应的十进制数运算为：21+19＝40）
2、二进制数的减法运算
二进制减法借位规则是“借一当二”，减法法则为:
0－0＝0
1－1＝0
1－0＝1
0－1＝1 （借位为1）
例如：10101-10011＝ 00010
（对应的十进制数运算为：21-19＝2）
3、二进制数的乘法运算
二进制数乘法与十进制数乘法运算类似。由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
乘法法则为：
0×0=0
0×1=0
1×0=0
1×1=1
例如：1101×1001＝1110101
（对应的十进制数运算为：13×9＝117）
4、二进制数的除法运算
二进制数除法与十进制数除法运算类似。先从被除数的最高位开始，依次将被除数与除数比较相除，最终得到所要求的各位商数与余数。
除法法则为:
0÷0 = 0
0÷1 = 0
1÷0 = 0 (无意义)
1÷1 = 1
例如：1101÷11＝100余1
（对应的十进制数运算为：13÷3＝4余1）
什么是进制
进制即进位制。进位制是一种计数方式，可以用有限的记数符号代表所有的数值。
我们常用的进制包括：二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位。比如我们常用的十进制就是由数字0-9组成，逢十进一位。
同理，二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，则逢二进一位。
二进制的表示
先来看看我们习惯使用的十进制，其实每个十进制数字都可以用10的连续幂方表示。
例如：十进制的10111可以表示为
即：10111=1×104+0x103+1×102+1×101+1×100=10000+100+10+1
那么，二进制的10111，同样可以用2的连续幂方来表示。
这时候，二进制数10111用十进制表示为
1×24+0x23+1×22+1×21+1×20=16+0+4+2+1=23
通过这种方法，我们就可以得到十进制数字0~9的二进制表示：
现在你就可以看懂二进制数时钟喇(虽然超模君还没见过有人用)
嗯，知道了二进制转换成十进制之后，那么十进制怎么转换成二进制呢?
十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余，逆序排列”法。
具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数;再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止。
然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
我们来看看刚刚的十进制的23，是如何转换成二进制的10111的：
所以，23=10111B(为了与十进制数区别，通常在二进制数后加B)
二进制数的四则运算
与十进制数一样，二进制数也有加减乘除四则运算。二进制与十进制的算法格式相同，区别在于十进制是逢十进一，而二进制是逢二进一。
① 加法运算：“逢二进一”。
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10
当遇到“1+1”时向相邻高位进1。
求1011B+1011B=?可以用与十进制数相同的竖式计算
② 减法运算： “借一当二”。
0-0 =0，1-0=1，1-1=0，10-1=1
当遇到“0−1”时，需向高位借1当2(10)。
求1100B−111B=?
③ 乘法运算： “各数相乘，再作加法运算”。
0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1
求1101B×101B=?
④ 除法运算： “各数相除，再作减法运算”。
0÷0 =0(无意义)，1÷0 =0(无意义)，0÷1 =0，1÷1=1
求1111B÷101B=?
二进制的应用
二进制(Binary)是计算技术中广泛采用的一种数制。有人说过：“计算机的世界是由0和1组成的。”
首先，从二进制的四则运算可以看出：用二进制表示的数字虽然位数比较多，但计算时却非常简单。比如加法和乘法公式分别仅有4条，而十进制中有100多条。
另外一个原因是，在计算机上，大量存在两种截然相反状态的现象。比如电路的通电与断电、电容器的充电与放电、晶体管的导通与截止等，这些均可以用二进制的两个符号1和0 来表示。
晶体管在电子产品中的主要作用是作为可变电流开关，能够基于输入电压控制输出电流。在计算机中可以直接用二进制的符号1表示接通，0表示关闭，简单明了。
晶体管：组成计算机核心部分(如CPU, 内存等)的基本元件叫做晶体管，晶体管是一种固体半导体器件，被用在几乎所有的电子设备之中。
试想一下，如果计算机使用十进制数，那么就需要有能够表示0~9数码的10个物理状态的电子器件。。。这在技术上是相当困难的，而使用二进制数只需要1和0两个状态，技术上轻而易举。
而且在逻辑代数中，还可以用二进制中的1和0表示“真”和“假”。二进制只有两种状态，数字传输处理也不容易出错。
二进制的来源
呼声最高的二进制发明者是莱布尼茨。莱布尼茨大家都很熟悉了吧，他是德国著名的哲学家、数学家，人类历史上少有的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。
除了他和牛顿谁是微积分学第一创立者的问题成为数学界最大公案以外，莱布尼茨“二进制”的发明是否受到中国《易经》的启发同样为世人争论不休。
当年确实有人给莱布尼茨看了中国的先天八卦图，但在这之前，莱布尼茨就创造了二进制。
1679年，莱布尼茨完成了论文《二进制算术》的草稿。莱布尼茨不仅详尽说明了“二进制”算术原理，而且还给出了加、减、乘、除四则运算的规则。
1701年，莱布尼茨给在北京的法国传教士白晋(Joachim Bouvet)的信中，再次阐述了“二进制”的算术规则，并希望白晋将“二进制”介绍给康熙皇帝。(听说康熙是个数学爱好者)
收到信的白晋感觉莱布尼茨的“二进制”似乎与中国的八卦图形有某种联系，比如八卦中的阴爻“- -”就像“二进制”中的“0”，阳爻“—”就像“1”。于是他在回信中说明了自己的这个想法，并寄回一张伏羲八卦图。
1703年4月，莱布尼茨收到了白晋的这封回信，到这时他才开始正式研究八卦符号，并发现自己的二进制体系与伏羲八卦图的一致性。
没多久之后，莱布尼茨就写了论文《二进位算术的阐述—关于只用0和1兼论其用处及伏羲氏所用数字的意义》，发表在法国《皇家科学院院刊》上。
通过对欧洲现存17世纪中西交流文献的查阅和考证，否定了在莱布尼茨发明了二进制以后才见到先天图的说法。
究竟是不是《易经》引发了莱布尼茨“二进制”的发明我们还没有定论，但有一点我们可以肯定：莱布尼茨的二进制算术体系与《易经》的哲学思维一脉相承。
好了，讲完，give me five!
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