质数是什么(质数指的是什么)

质数(prime number)又称素数,在自然数中除了1和它本身以外不再有其他因数,如3,7,19,23等。质数有无限个。

质数是只有1和自身两个因子的自然数。大于1的非质数是合数,1既不是合数也不是质数。

质数是什么(质数指的是什么)

质数无法摆成矩形

算术基本定理体现了质数的地位。

定理1(算术基本定理)对于正整数,都可以表示为质数的乘积,

不考虑质数排列顺序,这样的分解是唯一的。

如果把1也算作质数,则质因数分解不唯一。每个正整数就像是一个由质数构成的化合物,都可以被分解成最简的质数原子,每个正整数的“化学式”都是唯一的。事实上,由算术基本定理,我们可以把正整数写为如下形式:

于是我们可以只通过指数列就可以表示任意正整数。质数的概念至少在古希腊时期已经出现,然而两千年过去了,质数的规律依然没有完全昭示世人。因为质数的规律近乎于随机行为,没有人能准确预言下一个质数落在什么地方。古希腊数学家埃拉托斯特尼的筛法是判定质数最基本的工具:

定理2(埃氏筛法)若不能被之前的所有质数整除,那么是一个质数.

之所以只需检验之前的质数,是因为反比例函数关于轴对称.

质数是什么(质数指的是什么)

质数是否是有无穷个?欧几里得给出了一个鬼斧神工的证明:假如有有限个质数,那么考虑数,显然不能被已知的所有质数整除。此时分两种情况:

  • 若是质数,但(因为比已知的质数都大),这与假设矛盾;
  • 若是合数,由算数基本定理,必然存在某质数是的质因数,然而(因为已知的质数都不能整除),矛盾。

于是假设不成立——

定理3质数有无穷个!

质数是整数乘法系统的基石,很多命题只要质数成立,则对于一般的整数自然成立。

质数如此不规律,相邻质数间距也是数学家关心的问题。事实上质数间距可以任意大,只需要注意到下面这个连续的合数列

如果把质数的间距视为一个数列,那么这个数列中存在子列(所谓子列从集合的角度就是一个无穷元素的子集,但是新数列的排序依然按照原数列下标的从小到大排列,例如奇数列就是自然数列的子列,并且奇数按照由小到大的顺序排列),这个子列趋于正无穷。这个现象我们表示为:

孪生质数是指相差为2的质数对。我们把从项以后最小的质数间距列出来,

但是无人知晓这个数列的2是否有尽头,也有可能随着项数充分大后,质数间距不再小于等于4,6,8,……甚至会趋于无穷。2013年,张益唐给出一个令人安心的答案:这个数列不会超过七千万,即

而孪生质数猜想则等价于:

质数和等差数列也有着独特的缘分。

定理4(狄利克雷定理) 形如的等差数列中包含无数个质数,当 .

2004年,格林和陶哲轩还证明了,质数中存在任意长度的等差数列。

 

质数定理

质数是什么(质数指的是什么)

图片背景是质数螺旋图

我们把满足如下性质的数论函数命名为乘性函数:若,则

由于大于1的正整数都可以质因数分解,于是对于乘性函数而言,

于是求函数值可以转化为求 的值。

例如欧拉函数表示不超过的正整数中,与互质的个数。欧拉函数就是一个乘性函数:

引理5若,则

证明:设是不超过、与互质的数全体;是不超过、与互质的数全体。因为,有

于是至少有个数与互质,即.

反过来,与互质的数,一定与和互质,用同样的方式可以构造出,中的数同时与和互质,并且,则可以说明.

容易计算

于是利用欧拉函数的乘性,可得

推论6

关于欧拉函数有著名定理

定理7,则

只需令即有

推论8(费马小定理) ,则

证明很简单,但需要补充缩剩余系的内容,故省略。顺便一提——

定理9(威尔逊定理) 是质数的充要条件

威尔逊定理也有很多变体

<公式左右滑动可见>

但是并不实用。目前计算机快速判别质数的方法基于费马小定理的逆命题,然而逆命题不成立存在反例——伪质数,只不过它出现的概率极低。

就连欧拉也感慨:“世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘,看一眼质数表就会发现,它是如此毫无秩序,毫无规则可言。”不过欧拉还是凭借他非凡的洞察力,发现了如下公式:

定理10

<公式左右滑动可见>

证明:证明只需要用到等比级数公式:

然后展开括号,

<公式左右滑动可见>

比较原式左右两边的项,不重不漏一一对应。(绝对收敛级数的求和顺序不影响最后结果)

事实上,利用该式也可以证明素数有无穷个,假设质数有限,则

然而令,

调和级数发散。于是等式左右两边同时取极限不相等,矛盾。

利用高等数学的技巧,我们可以得到时的特例:

推论11

 

质数、自然数、圆周率被奇妙地联系在一起。

当时的人们并没有意识到欧拉这个恒等式有何作用。另一方面,高斯和勒让德猜测了质数渐进公式:

定理12(素数定理)

 

质数是什么(质数指的是什么)

值得一提的是勒让德关于素数计数函数的公式:

定理13(勒让德),

<公式左右滑动可见>

这个公式实际上和欧拉函数公式(推论5)有一定的关联性。假如上面的公式等号右边取整号全部去掉,则

其中. 于是得到

这该怎么理解呢?因为对于而言,之前的数都可以被整除,也就是与都不互素;之后与互素的只能是新的质数了。当然,这个有趣的推理其实非常不严谨,它基于一个难以实现的前提——能整除之前的所有质数。

直到黎曼将欧拉定义的函数解析延拓到复平面(挖掉这个奇点),一切变得明朗起来。黎曼甚至给出更精确的素数定理的猜想,它等价于我们现在所说的黎曼猜想:的非平凡零点全部分布在这条直线上。

而原始的质数定理只需要证明:上无零点。这个事实最终在1896年由阿达马和德·拉·瓦莱布桑按照黎曼的思路,各自独立地利用高深的整函数理论证明。1949年,塞尔伯格和埃尔德什分别独立地给出素数定理的初等证明。

质数定理的证明

质数的研究或许永远没有尽头。质数就像是一群调皮的孩子,任意对他画出种种条条框框,都不能尽皆约束;然而他偶尔也有听话可爱的一面,在你不知道的地方,零零散散站立着,等待数学家去发现。

 

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